如何解一元三次方程？
解一元三次方程 ( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 ) 通常有以下几种方法：
方法一：因式分解法
寻找有理根
使用有理根定理，所有可能的有理根为 ( x = \frac{\text{常数项因数}}{\text{首项系数因数}} )。例如，对 ( x^3 - 3x^2 + 4x - 2 = 0 )，可能的有理根为 ( \pm1, \pm2 )。
代入测试：发现 ( x=1 ) 是根，因此可分解为 ( (x-1)(x^2 - 2x + 2) = 0 )。
解二次方程
剩余二次因子 ( x^2 - 2x + 2 = 0 ) 的解为 ( x = 1 \pm i )。
方法二：卡尔达诺公式（通用解法）
若无法找到有理根，需将一般三次方程转化为缺项形式 ( y^3 + py + q = 0 )：
消去二次项
令 ( x = y - \frac{b}{3a} )，代入原方程并整理，消去 ( y^2 ) 项。
应用卡尔达诺公式
设 ( y = u + v )，代入缺项方程得到方程组：
[
\begin{cases}
u^3 + v^3 = -q \
3uv = -p
\end{cases}
]
解得 ( u^3 ) 和 ( v^3 ) 是二次方程 ( t^2 + qt - \frac{p^3}{27} = 0 ) 的根。
分情况讨论
计算判别式 ( \Delta = \left( \frac{q}{2} \right)^2 + \left( \frac{p}{3} \right)^3 )：
- Δ > 0：一个实根和两个共轭复根，实根为：
[
y = \sqrt[3]{ -\frac{q}{2} + \sqrt{\Delta} } + \sqrt[3]{ -\frac{q}{2} - \sqrt{\Delta} }
]
- Δ = 0：三个实根（至少两个相等），如 ( y = 2\sqrt[3]{-q/2} )。
- Δ < 0：三个不同实根，用三角函数形式表达：
[
y = 2\sqrt{ -\frac{p}{3} } \cos\left( \frac{1}{3} \arccos\left( \frac{-q/2}{\sqrt{ -p^3/27 }} \right) + \frac{2k\pi}{3} \right)
]
其中 ( k=0,1,2 )。
- Δ > 0：一个实根和两个共轭复根，实根为：
方法三：数值解法（如牛顿迭代法）
- 选取初始值 ( x_0 )。
- 迭代公式：
[
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
]
重复直至收敛到实根。
示例（缺项方程）
解方程 ( x^3 - 6x + 4 = 0 )：
- 判别式 ( \Delta = (-4/2)^2 + (-6/3)^3 = 4 - 8 = -4 )，故有三个实根。
- 用三角函数形式：
[
x = 2\sqrt{2} \cos\left( \frac{1}{3} \arccos\left( \frac{-2}{\sqrt{8}} \right) + \frac{2k\pi}{3} \right)
]
解得 ( x = 2, -1+\sqrt{3}, -1-\sqrt{3} )。
总结：优先尝试因式分解，若不可行则用卡尔达诺公式，实际计算中数值方法更高效。
