“标准差怎么算？”
标准差是衡量数据分散程度的重要指标，表示数据与平均值的平均偏离程度。以下是计算标准差的详细步骤：
1. 计算平均值
首先求出数据集的平均值（μ 或 (\bar{x})）：
[
\text{平均值} = \frac{\text{所有数据之和}}{\text{数据个数}} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}
]
2. 计算每个数据与平均值的差
对每个数据点 (x_i)，计算其与平均值的差：
[
\text{差值} = x_i - \text{平均值}
]
3. 计算差值的平方
将每个差值平方，消除负号：
[
\text{平方差} = (x_i - \text{平均值})^2
]
4. 计算方差
求平方差的平均值：
- 总体方差（数据为整体时）：
[
\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2}{N}
]
- 样本方差（数据为样本时，用于估计总体）：
[
s^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{n-1}
]
（分母用 (n-1) 是为了无偏估计，称为自由度修正）
5. 计算标准差
对方差取平方根，即得到标准差：
- 总体标准差：
[
\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2}{N}}
]
- 样本标准差：
[
s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}
]
示例：计算样本标准差
假设数据为样本：[2, 4, 6, 8]
- 平均值：(\bar{x} = \frac{2+4+6+8}{4} = 5)
- 差值平方：
- ((2-5)^2 = 9)
- ((4-5)^2 = 1)
- ((6-5)^2 = 1)
- ((8-5)^2 = 9)
- 平方和：(9 + 1 + 1 + 9 = 20)
- 样本方差：(s^2 = \frac{20}{4-1} \approx 6.67)
- 样本标准差：(s = \sqrt{6.67} \approx 2.58)
关键区别
- 总体 vs. 样本：分母用 (N) 还是 (n-1)。
- 单位一致性：标准差与原始数据单位相同（如：米、千克），方差单位是平方（如：平方米）。
理解标准差有助于分析数据的波动性，广泛应用于金融、科研、质量控制等领域。
