“平方根怎么算？”
计算平方根有多种方法，以下是几种常见且易于理解的方法：
一、牛顿迭代法（快速逼近法）
原理：通过迭代公式逐步逼近平方根的真实值。
步骤（以计算√a为例）：
- 初始猜测：任选一个正数 ( x_0 )（如 ( x_0 = a/2 )）。
- 迭代公式：( x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{a}{x_n} \right) )。
- 重复迭代：直到 ( x_{n+1} ) 与 ( x_n ) 的差值小于所需精度。
例子：计算 √2
- 初始值 ( x_0 = 1.5 )
- ( x_1 = \frac{1}{2}(1.5 + 2/1.5) ≈ 1.4167 )
- ( x_2 ≈ 1.4142 )（已接近精确值）
二、长除法手算法（传统笔算方法）
步骤（以计算√529为例）：
- 分段：从右开始每两位分一组，如 5 | 29。
- 首部平方：找最大整数 ( n ) 使得 ( n² ≤ 5 )，即 ( n=2 )（2²=4），余1。
- 带入下两位：余数1后写下两位29，得到129。
- 试商：当前结果2，乘以2得4。找 ( x ) 使 ( (40+x) \times x ≤ 129 )，这里 ( x=3 )（43×3=129）。
- 结果：合并得到平方根为23（√529=23）。
三、二分法（区间逼近法）
原理：在区间内不断缩小范围逼近平方根。
步骤（以计算√a为例）：
- 确定区间：如 [0, a]。
- 取中点：( mid = \frac{low + high}{2} )。
- 比较：若 ( mid² > a )，则 high = mid；否则 low = mid。
- 重复：直到区间长度小于所需精度。
例子：计算 √10（精度0.001）
- 初始区间 [3, 4]（因为3²=9<10，4²=16>10）
- 中点3.5²=12.25>10 → 新区间 [3, 3.5]
- 重复直到得到约3.162。
四、估算调整法（适合快速心算）
- 找最近平方数：如计算√50，知7²=49，8²=64，故结果在7~8之间。
- 线性插值：50-49=1，区间跨度1，故估算为7 + 1/(7+8) ≈7.07（实际√50≈7.07）。
总结
- 日常使用：计算器或牛顿迭代法最快。
- 手动计算：长除法或二分法更直观。
- 负数注意：实数范围内负数无平方根，复数根为虚数。
示例代码（牛顿法）：
def sqrt_newton(a, precision=1e-6):
x = a / 2 # 初始猜测
while True:
next_x = 0.5 * (x + a / x)
if abs(next_x - x) < precision:
return next_x
x = next_x
print(sqrt_newton(2)) # 输出 ≈1.4142
